KPK DAN FPB: PENJELASAN LENGKAP DENGAN CONTOH SOAL DAN PEMBAHASANNYA

Kelipatan Persekutuan Terkecil dan Faktor Persekutuan Terbesar merupakan materi matematika yang sering kita aplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Banyak manfaat yang bisa kita peroleh setelah mempelajari materi ini. Supaya kalian lebih mudah memahami materinya, artikel kali ini akan membahas mengenai materi tersebut.

1.   Faktor Bilangan Bulat

Perhatikan beberapa pembagian bilanga bulat berikut.

Bilangan yang habis membagi suatu bilangan dinamakan faktor bilangan tersebut.

Dengan demikian, 1, 2, 3, 4, 6, dan 12 merupakan factor dari 12.

 

2.   Kelipatan Bilangan Bulat

Perhatikan perkalian dengan bilangan 3 berikut.

Berdasarkan perkalian tersebut diperoleh kelipatan 3 yaitu 3, 6, 9, 12, 15, 18, dan 21.

Kelipatan suatu bilangan adalah hasil perkalian bilangan itu dengan bilangan asli.

3.   Bilangan Prima

Bilangan bulat positif yang memiliki tepat dua faktor yaitu bilangan 1 dan bilangan itu sendiri, dinamakan bilangan prima.

Contoh:

2 merupakan bilangan prima karena 2 hanya habis dibagi 1 dan 2.

5 merupakan bilangan prima karena 5 hanya habis dibagi 1 dan 5.

6 bukan bilangan prima karena 6 habis dibagi 1, 2, 3, dan 6.

 

4.   Faktor Prima dan Faktorisasi Prima

Untuk memahami faktor prima dan faktorisasi prima, perhatikan contoh berikut.

a. Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12

    Faktor dari 12 yang merupakan bilangan prima adalah 2 dan 3.

    Jadi, faktor prima dari 12 adalah 2 dan 3

b. Faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30

    Faktor dari 30 yang merupakan bilangan prima adalah 2, 3, dan 5.

    Jadi, faktor prima dari 30 adalah 2, 3, dan 5

Faktor prima dari suatu bilangan dapat juga ditentukan menggunakan pohon faktor sebagai berikut.

Berdasarkan pohon faktor tersebut diperoleh:

Faktor prima dari 12 adalah 2 dan 3;

Faktor prima dari 30 adalah 2, 3, dan 5; serta

Faktor prima dari 630 adalah 2, 3, 5, dan 7.

Berdasarkan pohon faktor di atas, bilangan 12, 30, dan 630 dapat dituliskan dalam bentuk perkalian bilangan-bilangan prima berikut.

Perkalian dari faktor-faktor prima suatu bilangan disebut faktorisasi prima bilangan tersebut.

 

5.   Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Kelipatan persekutuan merupakan kelipatan yang sama dari dua bilangan atau lebih. Ada beberapa cara yang dapat kita gunakan untuk menentukan KPK.

a.    Menentukan KPK dengan faktorisasi prima

    Untuk menentukan KPK dengan faktorisasi prima, berarti kalian harus menentukan faktorisasi prima dari semua bilangan yang ingin ditentukan KPK nya. Supaya lebih paham, perhatikan contoh berikut.

Contoh:

Tentukan KPK 90 dan 168

Penyelesaian:

Langkah 1:

Menyatakan bilangan 90 dan 168 ke dalam bentuk faktorisasi prima. Untuk menentukannya bisa menggunakan bantuan pohon faktor, sebagai berikut.

Langkah 2:

Mengalikan semua faktor-faktor pada masing-masing bilangan dengan ketentuan: Jika terdapat faktor prima yang sama pada kedua bilangan, maka dipilih yang pangkat tertinggi.

Jadi, KPK dari 90 dan 168 adalah  $2^{3}\times 3^{2}\times 5\times 7$ = 2.520.

b.   Menentukan KPK dengan pembagian bersusun

Contoh:

Tentukan KPK dari 9, 15, dan 42.

Penyelesaian:

Langkah 1:

Bagi ketiga bilangan tersebut secara bersusun hingga hasil bagi semua bilangan adalah 1, seperti berikut.

Keterangan:

Tanda panah merah berarti bilangan tersebut tidak terbagi habis oleh pembaginya.

Langkah 2:

Kalikan semua pembagi.

Jadi, KPK dari 9, 15, dan 42 adalah 3 x 2 x 7 x 5 x 3 = 630.

 

6.   Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Faktor persekutuan merupakan faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih. Ada beberapa cara yang dapat kita gunakan untuk menentukan FPB.

a.    Menentukan FPB dengan faktorisasi prima

    Untuk menentukan FPB dengan faktorisasi prima, berarti kalian harus menentukan faktorisasi prima dari semua bilangan yang ingin ditentukan FPB nya. Supaya lebih paham, perhatikan contoh berikut.

Contoh:

Tentukan FPB dari 90 dan 168.

Penyelesaian:

Langkah 1:

Menyatakan bilangan 90 dan 168 ke dalam bentuk faktorisasi prima. Untuk menentukannya bisa menggunakan bantuan pohon faktor, sebagai berikut.

90 = 2 x $3^{2}$ x 5

168 = $2^{3}$ x 3 x 7

Langkah 2:

Mengalikan semua faktor-faktor yang sama pada masing-masing bilangan dengan ketentuan: pilih yang pangkat terendah.

Jadi, FPB dari 90 dan 168 adalah 2 x 3 = 6.

b.   Menentukan FPB dengan pembagian bersusun

Contoh:

Tentukan FPB dari 24, 48, dan 72.

Penyelesaian:

Langkah 1:

Bagi ketiga bilangan tersebut secara bersusun hingga hasil bagi semua bilangan adalah 1, seperti berikut.

Langkah 2:

Kalikan pembagi yang habis membagi semua bilangan.

Jadi, FPB dari 24, 48, dan 72 adalah 2 x 2 x 3 = 12.

 

7.   Aplikasi KPK dan FPB dalam Kehidupan Sehari-hari

Contoh Soal 1:

Yanti berenang di kolam renang Tirta harapan setiap enam hari sekali. Tina berenang di kolam renang Tirta Harapan setiap sepuluh hari sekali. Desi berenang di kolam renang Tirta Harapan setiap lima belas hari sekali. Pada hari Sabtu mereka berenang bersama-sama di kolam renang Tirta Harapan.

Penyelesaian:

    

Contoh Soal 2:

Bu Rini membeli 20 buku tulis dan 12 pensil. Kedua alat tulis tersebut akan dibagikan kepada sejumlah anak. Setiap anak menerima buku tulis dan pensil dengan jumlah yang sama.

Penyelesaian:

Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan cara mencari FPB dari 20 dan 12.

Demikian pembahasan mengenai KPK dan FPB. Semoga artikel kali ini dapat bermanfaat dan membantu kalian untuk memahami materi. Apabila ada pertanyaan silahkan bisa kalian tulis di kolom komentar.

 

Share: